8강. 아인슈타인 관계식 (Einstein Relationship)

이번에는 지난 6강과 7강에서 배운 드리프트전류와 확산전류의 관계식인 아인슈타인 관계식을 보겠습니다.

아래 링크는 드리프트 전류와 확산전류의 링크입니다. 보시기전에 한 번 더 리뷰하시기 바랍니다.

[전자공학/반도체] - 6강. 드리프트 전류 (Drift Current)와 반도체 캐리어의 이동도(mobility)

[전자공학/반도체] - 7강. 확산전류(Diffusion Current)

 

[ 아인슈타인 관계식 (Einstein Relationship) ]

평형 상태(Equilibrium)의 반도체에서 캐리어 농도에 차가 있는 경우, 캐리어의 확산이 발생하는데 평형 상태에서는 전류의 흐름이 없어야 하므로 이 확산을 억제하는 내부 전장이 유기되어 전체전류를 0으로 만듭니다.

아인슈타인 관계식은 전류의 이동도(mobility, μ)와확산계수(Diffusion Coefficient, D_n)의 관계를 나타낸 식입니다. 

위 식에서 볼 수 있듯, 이동도는 드리프트 전류에서 얻을 수 있고, 확산계수는 확산전류에서 얻을 수 있습니다.

식을 유도하기 위해 평형상태(Equilibrium Condition)으로 가정하겠습니다.

평형상태란? 열에너지 이외의 어떠한 에너지개입이 없는 상태를 말합니다.

즉, 반도체에서 농도도 균일한 상태이고 전기장 또한 인가되지 않은 상태입니다.

그렇다면 드리프트 전류도 0이고, 확산전류의 값도 0이므로 전체전류가 0이됩니다.

이때, 전기장 ɛ는 Energy Band의 수평거리 변화량을 전하량으로 나누어준 값과 같습니다.

그리고 전자농도를 구하는 식은 아래와 같습니다.

위식을 미분하여 dn/dx를 구해주도록 하겠습니다.

위 식에서 E_F/dx를 구해보겠습니다.

평형상태에서는 거리의 변화에 따라 Fermi Level이 변하지 않으므로, 0입니다.

따라서 식을 다시 써주면 아래와 같습니다.

그리고 평형상태 (Equilibrium Condition)에서 E_F와 E_i는 같습니다. 따라서 위 식은 한 번 더 정리할 수 있습니다.

식을 유도하기 위한 준비단계가 끝이났습니다.

이제 본격적으로 식을 유도하기위해 전류밀도식을 다시 가져와 유도를 마치겠습니다.

같은 방법으로 정공(Hole)의 경우에도 아인슈타인 관계식을 유도하면 아래처럼 결과를 얻을 수 있습니다.