12강. 소수캐리어(Minority Carrier) 분포의 정량적 이해

지난 포스팅에서 소수캐리어 분포를 정성적으로 간단히 이해했습니다.

이번 포스팅에서는 수식을 이용하여 정량적으로 이해해보겠습니다.

먼저 평형상태의 캐리어 분포를 보고 경계조건을 구해보도록 하겠습니다.

PN접합 다이오드에서 평형상태에 형성된 Built-in Voltage의 표현식은 아래와 같습니다.

그리고 x_p0와 x_n0에서 전압의 크기 차이를 구하면 Built-in Voltage값을 얻어도 같은 값이 나옴을 알 수 있습니다.

위 식에서 x_n0와 -x_p0에서 전자 농도를 구해보면 아래와 같이 얻을 수 있습니다.

그리고 위 식에 대입하여 풀어주면 거리라는 변수 x에 따른 평형상태의 전자의 농도를 구할 수 있습니다.

즉, 위 식의 의미는 P-type반도체에서 소수캐리어인 전자농도와 N-type반도체에서 전자농도와의 관계를 정량적으로 정의할 수 있음을 나타냅니다. (경계조건)

마찬가지 방법으로 정공에 대해서 구해주어도 아래와 같이 얻을 수 있습니다.

 

그리고 Forward Bias V_A라는 전압을 인가하여 정량적으로 살펴보겠습니다.

P-type반도체에서 확산으로 인해 넘어간 정공들은 x_n에서 농도가 얼마인지 계산해보겠습니다.

위 식을 물리적으로 해석해보자면, x_n에서 정공의 농도는 평형 상태(equilibrium condition)의 정공 농도보다는 해당 지수함수값 만큼 높은 농도를 보인다는 것입니다.

즉, x_n이라는 경계에서 정공의 농도는 평형상태의 정공보다는 농도가 높게 형성된다는 뜻입니다.

지난 포스팅에서 정성적으로 설명한 바와 같이,

순방향 전압이 인가되면 장벽이 낮아져 확산되는 캐리어들의 수가 많아집니다.

따라서 공핍영역을 지난 반대편 반도체에서 봤을 때,

소수캐리어(Minority Carrier)를 공급해주는 공급원으로 생각 할 수 있습니다.

이를 수식으로 표현한 것이 위와 같은 식들입니다.

이제 경계값을 구했으니, 소수캐리어들이 왜 저러한 모양으로 재결합되어 사라지는지 수식으로 살펴보겠습니다.

이번에는 N-type반도체에서 계산해보겠습니다.

시작하기 전 정상상태이고, 열에너지 이외에는 어떠한 에너지 개입도없는 상태라고 가정하겠습니다.

N-type반도체에서는 정공이 소수캐리어입니다. 그리고 Excess Hole(초과 정공)의 전송방정식은 아래와 같습니다.

위에서 가정한대로 정상상태이고, 열에너지 외 어떠한 에너지 개입도없는 상태로 식을 변형하겠습니다.

정상상태 이므로 시간에 대한 미분값은 0이고, 전기장 E값도 0입니다.

마지막으로 변수 g는 열에너지 외 에너지개입 역시 없으므로 0입니다.

이를 바탕으로 식을 정리하면 Excess Hole에대한 2차미분방정식을 얻게됩니다.

선형 2차 방정식의 일반해는 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

x가 무한대로 갈 때 초과 정공은 0으로 수렴합니다. ( N-type반도체쪽으로 갈 수록 재결합되어 사라짐)

위 결론을 통해 상수 B는 0이 되어야 함을 알 수 있고, 식을 정리할 수 있습니다.

그리고 경계조건을 통해 초과정공(Excess Hole)의 값은 아래와 같이 쓸 수 있습니다.

이 경계조건을 값을 계산하도록 하겠습니다.

이제 변수 A를 구하기 위해 지금 까지 얻은 식을 이용하여 구해보겠습니다.

위 빨간색 네모친 부분을 풀어주면 변수 A값을 구하고, Excess Hole 식을 마무리하겠습니다.

이제 식을 해석해보겠습니다.

P-type반도체로부터 넘어온 정공들은 N-type에서 경계조건 초기값을 가지고, 지수적으로 감소함을 나타내고 있습니다.

이는, 앞서 정성적으로 해석한바와 같이 재결합에의해 감소함을 식을 통해서도 확인할 수 있습니다.

위 식을 줄여서 쓰면 아래처럼 쓸 수 있습니다.

따라서 소수캐리어(Minority Carrier)분포 식을 나타내면 아래와 같습니다.

 

Reverse Bias의 경우에도 마찬가지입니다. 모든 조건이 동일하고 Bias의 방향만 바뀌기 때문입니다.

위와 같은 식을 얻었으니 V_A가 음수일 때, 그래프형태를 확인하고 넘어가겠습니다.

 

지금까지 소수캐리어의 분포를 정량적으로 분석하는 과정까지 모두 마쳤습니다.

다음 포스팅에서는 다이오드 전류식을 유도하고 PN접합 다이오드에 대한 포스팅을 마무리하도록 하겠습니다.